在这里,我希望用高等量子力学非常优美的公理化形式将量子力学讲清楚。我认为对于部分的大学生,内容不会很难。基本上就是简单的,几乎是某些省份高中水平的线性代数,和极其简单的数学分析。

由于时间不足加之作者水平有限,以及一些细节不便于解释,难免会有一些错误或者表述不当的地方,欢迎指正。

这里描述量子理论不走套路,我希望结合一些最新的研究进展以及研究方向,进行系统的阐述。

搞清楚量子理论,也是此生一大成就。它很有可能是一种元物理。至少到目前,无论是什么物理理论,都不敢轻易离开量子理论的框架。

首先我要声明一点。量子理论主要包括量子力学和量子场论。和大家对物理的一般印象不同,前者,特别是两者的公共部分是极其严谨的。大家试想一下在量子理论诞生的年代这个理论是如此的荒诞,没有极其严谨的形式它难以存活并成为现代物理学的主体部分。只不过民科不懂又很自负,大家上课老师也没有时间和精力把它说明白,所以它变的似乎缺乏严谨。

量子理论的根源其实不是特别难理解。

它有着认识论上的基础假定,即我们如何描述物理世界。

首先要讲三个概念:

  1. 系统:它是我们理论描述的某个范围。有了系统我们才可以继续我们的研究,否则我们说不清我们是在干什么。
  2. 物理实在:我们需要描述的客观实体。它不依赖于描述。我们先前对它的描述有可能是错的。
  3. 状态:对系统或者对系统的一部分的表述。常常用一些数学结构来表述。它是物理中最人为的,但是也是最精彩的部分。一个正确理论对状态的表述应当可以完全确定物理体系的所有特征。这里量子理论和经典理论有着非常大的区别。量子理论认为状态不一定可以被直接观察到,但是一定有物理效应。举例说,你观察不到光的相位(甚至也不可能观察到。PS:光的相位实际上就是光的波函数在某点的取值),但是相位差会产生干涉,所以它必须被视为某种状态。

首先,我们看看经典的状态:

  • 硬币:正反,或者用数学可以表述为-1/1
  • 骰子:1 2 3 4 5 6
  • 一维粒子的位置:实轴全体数字

现在有个问题,就是为什么我们要这样表述状态?有什么绝对理由吗?

除了直观以外,恐怕并没有什么特别好的理由。

我们还发现经典混淆了一个概念:它把状态的观测值作为状态本身,这是混淆的行为!其实它假定了所有的状态都是可以观察到的。状态仅仅是一个描述,不应该把它和观测到的值混为一谈!

然后量子力学说,将它们描述为复数域的正交矢量除了复杂一点有什么坏处吗?

我们将经典的状态映射到复数域的正交矢量。这在数学上总是可行的。

(注:正交这一点并不能算这部分的假设,应该是处理观察量的时候才真正解决的(通过定义可观察量))

为了方便一点,我们规定它们都是单位矢量。

我们很快就可以发现,量子力学这么做是兼容了经典理论的。

首先,经典里面不同的状态在量子力学里面也是不同的。

然后,由于可以线性叠加,我们多出了非常多的新状态。量子力学认为它们都是有效状态。

最后,我们可以区分出经典中原来的一组状态,只要你给我原来的任意一个状态,我通过内积运算就可以通过结果是否为0来找到原来的所有状态。

(此处为了简单起见,我们不考虑简并态等,这些不造成根源上的不同)

同时,这个做法将状态和观测值区分开来了。现在只是正交的单位矢量而已。

以上是量子力学的第一个公设:(渐进自由下的)量子态叠加原理,以及算符的本征态问题。它的背后还有很多非常深的东西,我们在这里就不深入了。

我们现在来看,量子力学里面这些状态怎么表述:

  • 硬币:
  • 骰子:
  • 一维粒子的位置:(这里是和实数一样多的单位向量的线性组合)

这些是使用了狄拉克符号表示的矢量,是量子态。

我们发现有对应关系$x\rightarrow\ket{x}$,所以我们也可以用一个函数来表示:

  • 硬币:
  • 骰子:
  • 一维粒子的位置:

这些就是所谓的波函数。

两种的表述是等价的(其实波函数要规定表象),一般连续的物理量倾向于用波函数,这样易于数学分析。 量子态可以是抽象的(甚至没有具体的形式,只是个符号),理论分析中居多。


然后,我们来看看量子力学如何处理观察量这个不可回避的问题。粒子总有个位置吧?光子总有偏振吧(横向/纵向)?

(这里有一个问题,就是量子力学严格的描述依赖于数学,“横向/纵向”并不是数学可以处理的东西,因而我们一般将它们表述为1/-1,当然其他也可以,只不过这个简便罢了)

好,我们既然已经有了复空间的状态,那么就可以有复矩阵对吧?

现在做如下假定:

  1. 可观察量对应了某个矩阵,也叫算符。
  2. 这个矩阵是所谓的厄米(Hemitate)矩阵,即它的共轭等于它的转置的复矩阵。厄米矩阵的特性是它的不同的特征值对应的特征向量相互正交。并且特征值均为实数。
  3. 可观察的量的值就是它的特征值,对应的特征向量就是那个值对应的状态。

当然,理论不排除不同的状态有相同的本征值,但是这是简并态问题,此处不深究,它也不造成根本上的问题。

好了,这个完美兼容了经典的假定。并且排除了观察到的东西是复数这种奇怪的结论(显然粒子在某个维度上面的坐标分量是复数是实验不可接受的)。实际上这个问题也在于,如果得到的直接观察值是复数值,那么会给几乎所有可以想象的物理理论带来不自洽的问题:如何解释复数的运算?物理量的大小如何比较?而且一个物理量为复数,由物理的种种公式我们会得到复数的长度,复数的时间,复数的电荷,等等等等。我们允许动量为虚数的粒子存在,但是不允许这种特性是可以直接观测的。除了某些运算为了方便我们定义了某些复值,真实存在的可直接测量的单一物理量不应该是复数。

(未完待续)